Voici deux démonstrations expliquant pourquoi 1/3 n’est pas un nombre décimal, c’est à dire qu’on ne peut l’écrire avec un nombre fini de décimales:
Démonstration n°1
Nommons~x~un~nombre~décimal~composé~d'une~infinité~de~3
\\ x=0.3333333...
\\ ⇔ ~10x=3.333333...
\\ ⇔10x=3+0.333333...
\\ ⇔10x=3+x.
\\ ⇔9x=3.
\\ ⇔x=\frac{3}{9}
\\ ⇔Donc~x=\frac{1}{3}
\\ Conclusion:~\frac{1}{3} = 0.3333333...
\\ On~ne~peut~donc~écrire~\frac{1}{3}~sous~forme~décimale.Démonstation n°2
Rappel: Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme des chiffres est un multiple de 3 (Exemple: 123 est un multiple de 3 car 1+2+3=6, et 6 est un multiple de 3. 124 n’est pas un multiple de 3 car 1+2+4=7 ne l’est pas).
Si~\frac{1}{3}~est~un~nombre~décimal.
\\Alors~il~existe~deux~entiers~a~et~k~tel~que~\frac{1}{3}=\frac{a}{10^k}
\\⇔10^k=3a~(par~produit~en~croix)
\\Or,~10^k~n'est~pas~un~multiple~de~3~car~la~somme~des~chiffres~vaut~1(10^k=1~suivi~de~k~zéros),~et~1~n'est~pas~un~multiple~de~3
\\10^k=3a~est~faux
\\Donc~l'hypothèse~initiale~(\frac{1}{3}~est~un~nombre~décimal)~est~fausse.
\\⇒\frac{1}{3}~n'est~un~nombre~décimal.
La démonstration est désormais terminée. Comme vous le voyez, en mathématiques, il existe souvent différentes approches pour aboutir à un même résultat. N’apprenez pas par cœur cette démonstration, essayez plutôt de la comprendre, d’en saisir l’esprit. Si vous avez du mal, n’hésitez pas à la relire demain, parfois il faut plusieurs tentatives pour comprendre un nouveau concept.
En développant votre compréhension, vous développerez votre gymnastique et souplesse mentale, et vous serez plus à même d’avoir une bonne note lors de votre prochain DST même si les exercices sont différents de ceux faits en classe que si vous vous étiez contenté d’apprendre vos formules par cœur. Bonne journée à vous 😃