Formules de racines

Les racines carrées sont très utilisées au lycée. Pour cette raison, il faut connaître un certain nombre de formules, que voici:

√a×√b=√(a×b)√a÷√b=√(a÷b)MAIS√a+√b≠√(a+b)√a-√b≠√(a-b)
Exemple:
√4×√9=√(4×9)=√36=6
Après tout
√4×√9=2×3=6		Exemple:
√100÷√4=√(100÷4)=√25=5
Après tout
√100÷√4=10÷2=5		Contre-exemple :
• √9+√16=3+4=7
• √(9+16)=√25=5
Donc √9+√16≠√(9+16)
Contre-exemple :
• √25-√16=5-4=1
• √(25-16)=√9=3
Donc √25-√16≠√(25-16)

Comme vous le voyez, il est possible de grouper ou de dégrouper des racines lorsque l’on a un produit ou un quotient, mais pas avec une addition ou une soustraction. La démonstration de « pourquoi ça ne marche pas avec les additions et les soustractions » est simple: un contre-exemple suffit (voir ci-dessus). C’est d’ailleurs un bon moyen de vérifier vos formules en DST: si vous avez un doute, faites un test 👌

Mais comment prouver que pour tout réels a et b, √a × √b=√(a×b)? Multiplier les exemples ne fait pas une démonstration. Ainsi, ce n’est pas parce qu’il faut beau aujourd’hui et demain qu’il fait beau tout le temps. Nous allons ici démontrer la propriété grâce à l’algèbre. Mais avant cela, voici quelques rappels:

Propriété~1: (A×B)^2=A^2×B^2
\\Preuve: (A×B)^2=(A×B)×(A×B)=A×B×A×B=A×A×B×B=A^2×B^2
\\~
\\Propriété~2: (\sqrt{a})^2=a

Démonstration: √a × √b=√(a×b)

La stratégie

Objectif:~On~va~tenter~de~démontrer~que~(\sqrt{a} ×\sqrt{b})^2=(\sqrt{a×b})^2.
\\~
\\~En~effet,~si~x²=y²,~alors~x=y~ou~x=-y~
\\~Exemple: x²=25~⇔~x=\sqrt{25}=5~ou~x=-\sqrt{25}=-5  
\\~
\\~Comme~une~racine~est~par~définition~positive~cela~élimine~le~cas~x=-y
\\~
\\~Donc~si~(\sqrt{a} ×\sqrt{b})^2=(\sqrt{a×b})^2,~alors~\sqrt{a} ×\sqrt{b}=\sqrt{a×b}

La démonstration

(E_1)~~(\sqrt{a} ×\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2 ×(\sqrt{b})^2=a×b=ab^*
\\~(E_2)=(\sqrt{a×b})^2=a×b=ab
\\~
\\~On~a~donc~:
\\~(\sqrt{a} ×\sqrt{b})^2=ab =(\sqrt{a×b})^2
\\~⇔(\sqrt{a} ×\sqrt{b})^2 =(\sqrt{a×b})^2
\\~⇔\sqrt{a} ×\sqrt{b} =\sqrt{a×b}
\\~Nous~avons~bien~démontré~que~\sqrt{a} ×\sqrt{b} =\sqrt{a×b}

J’espère que cette démonstration vous a plu. Si vous n’êtes pas encore très à l’aise avec les racines, je vous invite à lire le document suivant: Puissance et Racines 🙂

\\~^*Preuve: (\sqrt{a} ×\sqrt{b})^2=\sqrt{a} ×\sqrt{b} ×\sqrt{a} ×\sqrt{b}
\\~La~multiplication~est~commutative,~c'est~à~dire~que~l'ordre~n'importe~pas.
\\~Exemple: 2×3=3×2
\\~Donc~(\sqrt{a} ×\sqrt{b})^2=\sqrt{a} ×\sqrt{a} ×\sqrt{b} ×\sqrt{b} =(\sqrt{a})^2×(\sqrt{b})^2 =a×b
\\En~effet,~un~carré~annule~une~racine.