Le carré d’un nombre impair est impair. Par exemple, 5 est un nombre impair et 5²=25 est impair. 7 est impair et 7²=49 est impair. Il semblerait donc que le carré d’un nombre impair est impair. Mais comment le prouver? Multiplier les exemples ne constitue pas une preuve, nous allons donc tenter de démontrer cette propriété grâce à l’écriture algébrique.

Prémisses théoriques

Pour pouvoir effectuer la démonstration, nous avons besoin de connaître les 4 éléments suivants:

  • Un nombre pair est un nombre multiple de 2. On peut donc l’écrire 2k. Par exemple, 6=2k (avec k=3). 18=2k (avec k=9)
  • Un nombre impair est un nombre dont le reste de la division euclidienne vaut 1. On peut donc l’écrire 2k+1. Par exemple, 5=k+1 (avec k=2 car 5=2×2+1). 11=2k+1 (avec k=5 car 11=2×5+1). 87=2k+1 (avec k=43 car 97=2×43+1)
  • La somme de deux entiers est un entier.
  • (a+b)²=a²+2ab+b²

C’est bon? C’est parti 🚀

Démonstration : Le carré d’un nombre impair est impair

Soit~x~un~nombre~impair.
\\Alors~x=2k+1~(avec~k~un~nombre~entier~quelconque)
\\Donc~x²=(2k+1)²
\\⇔x²=(2k)²+2(2k)(1)+1²
\\⇔x²=4k²+4k+1
\\En~factorisant~les~deux~premiers~membres~par~2
\\⇔x²=2(2k²+2k)+1
\\k~est~un~entier~donc~k²~aussi~et~donc~2k²~aussi.
\\k~est~un~entier~donc~2k~aussi.
\\Or~la~somme~de~deux~entiers~est~un~entier.~Donc~2k²+2k~est~un~entier.
\\ Nommons~cet~entier~k'=2k²+2k
\\x²=2(2k²+2k)+1
\\⇔x²=2k'+1
\\⇔x²=impair
\\Conclusion:~si~x~est~impair,~alors~x²~est~impair

Cette démonstration est désormais terminée. J’espère qu’elle vous a plu et bonne visite sur Bossdesmaths.com