De nombreux problèmes mathématiques font intervenir la consigne « montrer que ».
Exemple: Montrer que (x-2)²-4 = x(x-4)
Ce type de consigne est un vrai cadeau, car elle permet aux élèves de savoir quel doit être le résultat à obtenir, et si leur résultat est bon ou pas. Mais cette consigne est souvent mal abordée par les élèves. Beaucoup d’élèves ont tendance à écrire :
(x-2)²-4=x(x-4)
⇔ x²-4x+4-4=x²-4
⇔x²-4x=x²-4x
❌C’est mal. En effet, il est INTERDIT d’écrire l’égalité dès la première ligne, car en mathématiques,on ne peut écrire que ce que l’on sait. Or ici, on ne sait pas encore que (x-2)²-4=x(x-4), c’est justement ce qu’on cherche à montrer. Si on le savait, pourquoi on s’embêterait en calculs? Donc dès la première ligne, la rédaction est erronnée.
Comment montrer que A=B?
Voici les trois techniques les plus utilisées pour montrer une égalité :
| 1. Transformer A → B | 2. Transformer B → A | 3. Transformer A →C & B→C |
| On transforme l’expression de gauche pour aboutir à celle de droite | On transforme l’expression de droite pour aboutir à celle de gauche | On transforme chacun des membres (A et B) pour aboutir à une troisième forme (C) commune |
| Exemple: Montrer que (x-2)²-4 = x(x-4) (x-2)²-4= (x-2)²-2²= (x-2-2)(x-2+2) (x-4)(x) x(x-4) Donc (x-2)²-4 = x(x-4) | Exemple: Montrer que x²+5x+6=(x+2)(x+3) (x+2)(x+3)= x²+3x+2x+6= x²+5x+6 Donc x²+5x+6=(x+2)(x+3) | Exemple: Montrer que (x-2)²-4 = x(x-4) D’une part (x-2)²-4= x²-4x-4+4= x²-4x D’autre part: x(x-4)=x²-4x Donc (x-2)²-4=x(x-4) |
Quelle stratégie adopter?
La stratégie à suivre dépendra du contexte de l’énoncé et des stratégies qui vous semblent le plus simple à mettre en oeuvre. Par exemple si on vous demande
Montrer que (x-3)²-4 = (x-5)(x-1)
Vous pouvez tenter la stratégie n°1, en factorisant l’expression de gauche grâce à l’identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b), ou tenter la stratégie n°3 en développant le membre de gauche, puis le membre de droite. Vous ne savez pas laquelle? Testez…
Technique avancée: Calculer A-B
Pour montrer que A-B=0, vous pouvez également calculer la différence entre les deux membres et montrer que A-B=0
J’espère que cet article vous a été utile, et bonne journée à vous 👋