👨‍🏫 Démonstration √2 est irrationnel

Supposons~que~\sqrt2~soit~un~nombre~rationnel. 
\\ Alors~il~existe~a,b∈ℝ~tels~que~\sqrt2=~\frac{a}{b}~(avec~\frac{a}{b}~ irréductible).
\\ \sqrt2=~\frac{a}{b}
\\⇔(\sqrt2)²=~(\frac{a}{b})²
\\ ⇔ 2=\frac{a²}{b²} 
\\ ⇔2b²=a²
\\ a²=2b²⇒a²~est~pair~⇒~a~est~pair~(si~a~était~impair,~alors~a²=impair)
\\ a~est~pair,~donc~on~peut~noter~a=2k (k∈ℤ)
\\2b²=a²
\\ ⇔2b²=(2k)²
\\ ⇔2b²=4k²
\\ ⇔b²=2k² 
\\ b²=2k²~⇒b²~est~pair~⇒~b~est~pair~⇒~b=2k'~(avec~k'∈ℤ)
\\a~et~b~étant~pairs, \frac{a}{b}=\frac{2k}{2k'}⇒\frac{k}{k'}⇒~\frac{a}{b}~n'est~pas~irréductible.
\\~Cela~contredit~l'hypothèse~initiale~(fraction~irréductible)
\\Comme~l'hypothèse~"\sqrt2~est~un~nombre~rationnel"~conduit~à~une~contradiction,~c'est~le~contraire~qui~est~vrai.
\\Donc~\sqrt2~est~irrationnel.