La somme de deux multiples d’un même nombre est aussi multiple de ce nombre. Par exemple 6 est un multiple de 3, 9 également donc 6+9=15 est un multiple de 3. On peut essayer avoir d’autres nombres
• Exemple 1: 15 est un multiple de 3, 30 aussi, donc 15+30 est aussi un multiple de 3.
• Exemple 2: 14 est un multiple de 7, 21 aussi donc 14+21 est un multiple de 7.
Mais comment démontrer que le résultat est vrai tout le temps, et pas uniquement avec les exemples précédemment mentionnés? On pourrait tester avec d’autres nombres, mais multiplier les tests ne permet pas de généraliser pour autant. Ce n’est pas parce que quelque chose est vraie 1000 fois qu’elle est toujours vraie. Ainsi, vous avez sans doute déjà vu des centaines de chats dans votre vie, tous avec avec des poils. Vous ne pouvez pas conclure pour autant que « tous les chats ont des poils », il existe une espèce rare de chats… sans poils
Bref, en mathématiques, on peut émettre des hypothèses à l’aide d’exemples mais les exemples ne font pas les certitudes. Or, les certitudes sont nécessaires pour pouvoir faire avancer les sciences. C’est parce que le théorème de Pythagore est toujours vrai que l’on peut calculer des longueurs dans des triangles rectangles ou vérifier qu’un mur est bien vertical… Si on n’avait pas démontré le théorème, alors on ne pourrait l’appliquer avec une telle confiance. Bref, dans cet article, nous allons démontrer que la somme de deux multiples de a est un multiple de a
La somme de 2 multiples de a est un multiple de a
La démonstration étant un peu compliquée, je vous invite à lire la colonne de gauche, plus simple (la démonstration est en gras et les explications en écriture fine). Une fois que vous aurez compris la démonstration, vous pourrez lire la colonne de droite, plus générale.
Note: on rappellera qu’un nombre x est un multiple de a si on peut l’écrire x=ak, avec k=nombre entier (Exemple: 6 est un multiple de 3 car 6=3k (avec k=2). 9 est un multiple de 3 car 9=3k (avec k=3). 42 est un multiple de 7 car 42=7k (ici avec k=6).
| Cas particulier: La somme de 2 multiples de 3 est un multiple de 3 | Démonstration générale: La somme de 2 multiples de a est un multiple de a |
| Soit b et c deux multiples de 3. Alors on peut écrire b=3x et c=3y (x et y sont des entiers) (Exemple: si b=6 et c=9, alors b=3x et c=3y avec x=2 et y=3) On a alors b+c=3x+3y En factorisant, b+c=3(x+y) x et y étant deux entiers, alors leur somme est un entier. Il existe donc un entier tel que z=x+y Donc b+c=3z (avec z un entier qui vaut x+y) (Dans l’exemple précédant, si b=6 et c=9 alors b+c=3×2+3×3=3×(2+3)=3(5)=3z avec z=x+y=5) Donc b+c est un multiple de 3 | Soit b et c deux multiples de a. Alors il existe deux entiers x et y tels que b=ax et c=ay. On a alors b+c=ax+ay ⇔ b+c=a(x+y) ⇔ b+c=az (avec z un entier tel que z=x+y) Donc b+c est un multiple de a |
J’espère que cette démonstration vous a plu. A noter: cela ne sert à rien de l’apprendre par coeur. Le plus important dans les démonstrations, c’est de tenter de les comprendre pour développer votre gymnastique intellectuelle. Alors, essayez de comprendre la démonstration pour pouvoir la refaire par vous-même. Si vous n’y arrivez pas, ce n’est pas grave. Reposez-vous et relisez la démonstration dans quelques jours: peut-être vous semblera-t-elle plus claire.
Note pour les élèves les plus ambitieux: vous pensez avoir compris la démonstration? Essayez de démontrer que la différence de deux multiples de 3 est un multiple de 3 et envoyez-moi un email avec ce que vous avez trouvé 🎓
Bon courage à vous et bonne visite sur Bossdesmaths.com 😀