En mathématiques, de nombreux problèmes (recherche de PGCD, congruence…) impliquent de s’intéresser à la divisibilité (et aux règles dee divisibilié). Pour rappel: un nombre a est divisible par b si a/b donne un entier
| 😃 18 est divisible par 3 car 18/3 = 6 (donc un entier) | 😟 19 n’est pas divisible par 3 car 19/3 = 6,3333… (donc pas un entier) |
Pour déterminer les divisibilités, on peut poser la division, mais ce n’est pas pratique pour les grands nombres. Ainsi, comment savoir si 1 789 est divisible par 3? Difficile sans calculatrice me direz-vous? Non, si vous connaissez les règles ci-dessous :
Règles de divisibilité
| Un nombre est divisible par | Si | 😃 Exemple | 😟 Contre-exemple |
| 2 | Chiffre des unités = 0,2,4,6 ou 8 (= nombre pair) | 7 118 est divisible par 2 car le chiffre des unités = 8 | 7 893 n’est pas divisible par 2 car le chiffre des unités = 3 |
| 3 | La somme des chiffres est un multiple de 3 | 7 893 est divisible par 3 car 7+8+9+3=27 (27 est un multiple de 3) | 7 118 n’est pas divisible par 3 car 7+1+1+8=17 (17 n’est pas un multiple de 3) |
| 4 | Les deux derniers chiffres sont divisibles par 4 ou Après avoir divisé les deux derniers chiffres par 2, le résultat doit être pair | 2 024 • 24 est un multiple de 4 ou • 24/2 = 12 (pair) | 2 086 • 86 n’est pas un multiple de 4 ou • 86/2=43 (43 est impair) |
| 5 | Le chiffre des unités est 0 ou 5 | 17 895 car le dernier chiffre est 5 | 555 553 car le dernier chiffre est 3 |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 | 639 car 6+3+9=18 et 18 est un multiple de 9 | 121 car 1+2+1 =3 (3 n’est pas un multiple de 9 car 3/9 ≠ entier) |
| 10 | Le chiffre des unités = 0 | 3 870 car le nombre se termine par 0 | 3 871 car le nombre ne se termine pas par 0 |
| 11 | La somme des chiffres de rang impair – somme des chiffres de rang pair est un multiple de 11 | 858 • (8+8)-5=11 11 est un multiple de 11 121 •(1+1)-2=0 0 est un multiple de 11 (c’est 0×11) 96 770 861 •(9+7+0+6)-(6+7+8+1)=22-22=0 | 2021 •(2+2)-(0+1)=3 3 n’est pas un multiple de 11 |
Combiner les règles
En mathématiques, il faut souvent combiner les règles pour déduire de nouvelles informations. Ainsi, on peut vérifier les propriétés suivantes (liste non-exhaustive).
| Un nombre est divisible par | Si | 😃 Exemple |
| 6 | • Divisible par 2 et • Divisible par 3 | 2 004 • C’est pair • 2+0+0+4=6 (6 est un multiple de 3) |
| 12 | • Divisible par 3 et • Divisible par 4 | 2 016 • 2+0+1+6 = 9 (9 est un multiple de 3) • 16 est un multiple de 4 |
| 15 | • Divisible par 3 et • Divisible par 5 | 2 025 • 2+0+2+5 = 9 (9 est un multiple de 3) • Le nombre se termine par 5 |
| 18 | • Divisible par 2 et • Divisible par 9 | 1 998 • C’est pair • 1+9+9+8 = 27 27 est un multiple de 9 |
| 22 | • Divisible par 2 et • Divisible par 11 | 2 024 • C’est pair • (2+2)-(0+4)=0 et 0 est un multiple de 11 |
| 36 | • Divisible par 4 et • Divisible par 9 | 2 016 • Les deux derniers chiffres (16) sont un multiple de 4 • 2+0+1+6=9 (9 est un multiple de 9) |
| 44 | • Divisible par 4 et • Divisible par 11 | 2 024 • Les deux derniers chiffres (24) sont un multiple de 4 • (2+2)-(0+4)=0 (0 est un multiple de 11) |
| 55 | • Divisible par 5 et • Divisible par 11 | 1 925 • Le nombre se termine par 5 • (1+2)-(9+5)=-11 (-11 est un multiple de 11) |
Par quels nombre est divisible votre année de naissance ou votre âge? Connaissez-vous d’autres règles de divisibilité? N’hésitez pas à me le faire savoir en m’envoyant un message ci-dessous :